Question

已知从A地去B地有甲、乙两条路可走，汽车走甲路堵车的概率为

1

4

，汽车走乙路堵车的概率为

1

3

，若有三辆汽车走甲路，有一辆汽车走乙路，且走甲路的三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．
（1）求走甲路的三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率；
（2）求这四辆汽车被堵的车辆数X的概率分布和数学期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）求走甲路的三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为

C

1 3

×

1

4

×(1-

1

4

)2，计算求得结果．
（2）先求得这四辆汽车被堵的车辆数X的概的取值为 0，1，2，3，4，再求出X取每个值的概率，可得离散型随机变量X的概率分布列和数学期望．

解答：解：（1）求走甲路的三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为

C

1 3

×

1

4

×(1-

1

4

)2=

27

64

．
（2）这四辆汽车被堵的车辆数X的概的取值为 0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C

0 3

×(

3

4

)3×

2

3

=

9

32

，P（X=1）=

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2+

C

0 3

×(

3

4

)3×

1

3

=

27

64

，
P（X=2）=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

×

2

3

+

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2×

1

3

=

15

64

，P（X=3）=

C

3 3

×(

1

4

)3×

2

3

+

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

×

1

3

=

11

192

，
P（X=4）=(

1

4

)3×

1

3

=

1

192

．
∴X的概率分布为

X	0	1	2	3	4
P	9 32	27 64	15 64	11 192	1 192

∴EX=0×

9

32

+1×

27

64

+3×

11

192

+4×

1

192

=

13

12

．

点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的概率分布列和数学期望，属于中档题．