Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx（x∈R）
（I）求f（

3π

8

）的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦和辅助角公式将f（x）=cos²x+sinxcosx（x∈R）化简为：f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．即可求f（

3π

8

）的值；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

即可求得f（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x…（3分）
=

2

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

…（6分）
∴f（

3π

8

）=

2

2

sinπ+

1

2

…（8分）
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

…（10分）
∴2kπ-

3π

4

≤2x≤2kπ+

π

4

，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)时，f（x）单调递增．
∴f（x）单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）…（12分）

点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考察辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的单调性，属于中档题．