Question

已知函数f（x）在R上是增函数，a，b∈R．
（1）求证：如果a+b≥0，那么f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
（2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；解不等式f(lg

1-x

1+x

)+f(2)≥f(lg

1+x

1-x

)+f(-2)．

Answer 1

分析：（1）a+b≥0?a≥-b?b≥-a，由函数的单调性即可比较对因函数值的大小，从而证明出结论．
（2）写出逆命题，同（1）可证明其逆否命题为真命题．然后利用（2）中的结论写出要求解的不等式的等价不等式，直接解出即可．

解答：解：（1）证明：当a+b≥0时，a≥-b且b≥-a，∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a），
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
（2）中命题的逆命题为：如果f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0 ①
 ①的逆否命题是：a+b＜0?f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b） ②
仿（1）的证明可证 ②成立，又①与 ②互为逆否命题，故 ①成立，
即（1）中命题的逆命题成立．
根据（2），所解不等式等价于lg

1-x

1+x

+2≥0，解得-1＜x≤

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点评：本题考查函数单调性的应用、命题之间的关系，考查利用所学知识解决问题的能力．