Question

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝．

（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；

（Ⅱ）求二面角A－BE－P的大小．

Answer 1

解:解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．

又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE．

又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．

在RtΔPAB中，tan∠PBA＝，∠PBA＝60°．

故二面角A－BE－P的大小是60°．

解法二    如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A（0,0,0），B（1,0,0），C（），D（），P（），E（）．

（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是＝（0,1,0），所以和共线．从而BE⊥平面PAB．又因为BE平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知=（1,0,-）, =（0, ,0）,

设=（x₁,y₁,z₁）是平面PBE的一个法向量，则有

所以y₁=0,x_­1=z₁．故可取=（,0,1）．

而平面ABE的一个法向量是=（0,0,1）．

于是，cos＜,＞＝．

故二面角A-BE-P的大小是．