Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R ）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象旧否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据“定义在R上的函数f（x）的图象关于原点对称“得出奇偶性，再判断b，d的值，再有在1处的极值求出a，c．
（Ⅱ）用反证法证明．对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点C（x₀，0），再利用导数的几何意义，求出不等关系，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．
∵x=1时，f（x）取极小值-

2

5

，
∴3a+c=0且 a+c=-

2

5

．
解得a=

1

5

，c=-

3

5

．
∴f（x）=

1

5

x3-

3

5

x
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
假设图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=

3

5

（x²-1）知两点处的切线斜率分别为
k₁=

3

5

(

x

2 1

-1)，k₂=

3

5

(

x

2 2

-1)，且

9

25

(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=1             （*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，
∴

x

2 1

-1≤0，

x

2 2

-1≤0
∴（

x

2 1

-1）（

x

2 2

-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立

点评：该题考查导数的几何意义、函数奇偶性对应的奇数次项系数的值以及偶数次项系数的值，考查反证法的使用，考查两数之间最值之差最大，为中档题．