Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+3•2^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）令c_n=log₂

an+1

3

，证明：

1

c2c3

+

1

c3c4

+…+

1

cncn+1

＜1（n≥2）．

Answer 1

分析：（1）累加法：注意验证n=1的情形；
（2）表示出b_n，然后利用分组求和得，S_n=3[（1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1）-（1+2+3+…+n）]，令x=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，运用错位相减法可得x，代入S_n即可；
（3）由an=3×2n-1-1可得c_n，利用裂项相消法可化简

1

c2c3

+

1

c3c4

+…+

1

cncn+1

，由其结果可得证；

解答：解：（1）∵a₁=2，an+1-an=3•2n-1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+3×2⁰+3×2¹+3×2²+…+3×2^n-2
=2+3（2⁰+2¹+2²+…+2^n-2）
=2+3×

1(1-2n-1)

1-2

=3×2^n-1-1（n≥2），
经验证n=1也成立，∴an=3×2n-1-1；
（2）bn=nan=3n×2n-1-n，
b1=3×1•20-1，b2=3×2•21-2，b3=3×3•22-3，…，bn=3n•2n-1-n，
∴S_n=3[（1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1）-（1+2+3+…+n）]，
设x=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①，则2x=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ②，
①-②得，-x=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=1+

2(1-2n-1)

1-2

-n•2ⁿ=-1+（1-n）•2ⁿ，
∴x=（n-1）2ⁿ+1，
∴S_n=3[（n-1）2ⁿ+1-

n(n+1)

2

]，
∴S_n=(3n-3)•2n-

3

2

n(n+1)+3；
（3）∵an=3×2n-1-1；
∴c_n=log₂2^n-1=n-1，

1

c2c3

+

1

c3c4

+…+

1

cncn+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．

点评：本题考查由递推式求数列通项、错位相减法、裂项相消法对数列求和，考查学生的运算求解能力，综合性较强，难度较大．