Question

若一个正方形的四个顶点都在双曲线C上，且其一边经过C的焦点，则双曲线C的离心率是

5 +1

2

．

Answer 1

分析：设出双曲线C的方程

x2

a2

-

y2

b2

=1，依题意，a²+b²=c²，且（c，c）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点，从而可得到关于a，c的关系式，解之即可．

解答：解：∵正方形的四个顶点都在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上，其一边经过C的焦点，则有
a²+b²=c²，且（c，c）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点，
所以

c2

a2

-

c2

b2

=1
消去b²得c⁴-3a²•c²+a⁴=0，
∴

c2

a2

=

3± 5

2

，由于c²＞a²，
∴

c2

a2

=

3+ 5

2

=

6+2 5

4

=(

5 +1

2

)2，
∴离心率e=

c

a

=

5 +1

2

．
故答案为：

5 +1

2

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，利用（c，c）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点，求得

c2

a2

=(

5 +1

2

)2是关键，也是难点，属于中档题．