题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，PA=AD=2，AC=1．（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值．
分析：（I）以
、
、
为x、y、z正半轴方向，建立空间直角坐标系A-xyz如图．得出D、C、P各点的坐标，从而得出
=（0，1，-2），
=（2，0，0），再计算
•
=0，可得
⊥
，即PC⊥AD；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组并解之，可得平面PCD的一个法向量
=（1，2，1），结合
=（2，0，0）是平面PAC的法向量，算出
，
夹角的余弦，即为二面角A-PC-D的余弦之值．最后用同角三角函数关系，不难得出二面角A-PC-D的正弦值．
| AD |
| AC |
| AP |
| PC |
| AD |
| PC |
| AD |
| PC |
| AD |
（II）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组并解之，可得平面PCD的一个法向量
| n |
| AD |
| AD |
| n |
解答：解：（I）以
、
、
为x、y、z正半轴方向，建立空间直角坐标系A-xyz…（1分）
则D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）…（3分）
∴
=（0，1，-2），
=（2，0，0），
可得
•
=0×2+1×0+（-2）×0=0，
∴
⊥
，即PC⊥AD；…（6分）
（II）
=（0，1，-2），
=（2，-1，0），
设平面PCD的一个法向量
=（x，y，z）．
则
，取z=1，得
=（1，2，1）…（10分）
∵
=(2，0，0)是平面PAC的法向量…（11分）
∴cos＜
，
＞=
=
，可得sin＜
，
＞=
得：二面角A-PC-D的正弦值为
…（13分）
| AD |
| AC |
| AP |
则D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）…（3分）
∴
| PC |
| AD |
可得
| PC |
| AD |
∴
| PC |
| AD |
（II）
| PC |
| CD |
设平面PCD的一个法向量
| n |
则
|
| n |
∵
| AD |
∴cos＜
| AD |
| n |
|
| ||||
|
|
| ||
| 6 |
| AD |
| n |
| ||
| 6 |
得：二面角A-PC-D的正弦值为
| ||
| 6 |
点评：本题给出四棱锥，求证线线垂直并求二面角的大小，着重考查了直线与平面垂直的性质、用空间向量求平面间的夹角等知识，属于中档题．
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