Question

若x，y满足条件|ax|+|y|≤1（a＞0），则
（a）P（x，y）的轨迹形成的图形的面积为1，则a=

2

．
（b）x2+y2+

2x

a

+2y的最大值为

3 a2 ，(0＜a＜1) 3，(a≥1)

．

Answer 1

分析：（a）在平面坐标系中画出x，y满足条件|ax|+|y|≤1（a＞0）的平面区域，如图阴影部分，它是由四条直线：ax+y=1，-ax+y=1，ax-y=1，-ax-y=1，围成的平行四边形，其面积是三角形OAB的四倍，利用三角形面积公式即可求出a值；；
（b）由于x2+y2+

2x

a

+2y=(x+

1

a

)2+(y+1)2-(

1

a2

+1)，其中(x+

1

a

)2+(y+1)2，它表示点P（-

1

a

，-1）到区域内的点（x，y）的距离的平方．对a的值进行分类讨论：当a≥1时，P到区域内的点A距离最远，当0＜a＜1时，P到区域内的点B距离最远，从而求出x2+y2+

2x

a

+2y的最大值．

解答：解：（a）在平面坐标系中画出x，y满足条件|ax|+|y|≤1（a＞0）的平面区域，如图阴影部分，
它是由四条直线：ax+y=1，-ax+y=1，ax-y=1，-ax-y=1，围成的平行四边形，A（0，1），B（

1

a

，0）
其面积是三角形OAB的四倍，而S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

×

1

a

=

1

2a

=

1

4

⇒a=2，
故答案为：2；
（b）x2+y2+

2x

a

+2y=(x+

1

a

)2+(y+1)2-(

1

a2

+1)，
其中(x+

1

a

)2+(y+1)2，
它表示点P（-

1

a

，-1）到区域内的点（x，y）的距离的平方，
由于取a=1时，
当（x，y）=（0，1）和（x，y）=（

1

a

，0）时，x2+y2+

2x

a

+2y的值相同，都等于3，
∴①当a≥1时，P到区域内的点A距离最远，
从而当（x，y）=（0，1）时，
x2+y2+

2x

a

+2y的最大，最大值为3；
②当0＜a＜1时，P到区域内的点B距离最远，
从而当（x，y）=（

1

a

，0）时，
x2+y2+

2x

a

+2y的最大，最大值为

3

a2

，
故答案为：

3 a2 ，(0＜a＜1) 3，(a≥1)

．

点评：本小题主要考查简单线性规划的应用、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论与转化思想．属于基础题．