Question

已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内

切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆。

（I）求椭圆的标准方程，

（Ⅱ）设AB是过椭圆中心的任意弦，是线段AB的垂直平分线。M是上异于椭圆

中心的点。

（1）若(为坐标原点)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方

程；

（2）若M是与椭圆的交点，求△AMB的面积的最小值。

Answer 1

已知曲线C₂=所围成的封闭图形的面积为4,曲线C₃的内切圆半径为，记C₂为以曲线C₂与坐标轴的交点顶点的椭圆.

(I)求椭圆C₂的标准方程；

(II)设AB是过椭圆C，中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点.

（1）                     若|MO|=|OA|(O为坐标原点)，当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；

（2）若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值。

解：（I）由题意得

由a>b>0，

解得   a²=5, b²=4.

因此所求椭圆的标准方程为     =1.

（II）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(k≠0),

A(x_A,y_A).

解方程组  得

所以    |OA|²=x²_A+ y²_A=

设M(x,y)，由题意知|MO|=λ²|OA|²,即,

因为l是AB的垂直平分线，

所以  直线l的方程为y=-,

即k=-,

因此  

又x²+y²=0,

故 

又    当k=0或不存时，上式仍然成立.

综上所述，M的轨迹方程为（λ0）,

（2）                     当k存在且k0时，由（1）得

,

由解得

所以|OA|²=,

解法一：由于 

=

=

=

=（）²，

当且仅当4+5k²=5+4k²时等号成立，即k=1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是S_△AMB=.

当

当k不存在时，

综上所述，的面积的最小值为

解法二：因为

又   

当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是

当k=0，

当k不存在时，

综上所述，的面积的最小值为