Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为．记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（），N（0，1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用条件找到，得动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点．代入椭圆的方程即可．
（Ⅱ）直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，等价于把直线方程和椭圆方程联立后对应的方程有两个不等根，利用其判别式大于0即可．
（Ⅲ）先把直线方程和椭圆方程联立后找到向量的坐标，利用向量与共线求出对应的k的取值，看其是否让（Ⅱ）成立即可．
解答：解：（Ⅰ）设C（x，y），
∵|AC|+|BC|+|AB|=2+2，|AB|=2，
∴|AC|+|BC|=2＞2，
∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点．
∴a=，c=1．∴b²=a²-c²=1．
∴W：=1（y≠0）．（2分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，得=1．
整理，得kx+1=0．①（5分）
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于-2＞0，解得k＜-或k＞．
∴满足条件的k的取值范围为（7分）
（Ⅲ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由①得x₁+x₂=-．②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2③
因为，N（0，1），所以．（11分）
所以与共线等价于x₁+x₂=-．
将②③代入上式，解得k=．
所以不存在常数k，使得向量与共线．（13分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题．一般在研究直线与曲线有两个不同的交点问题时，等价于把直线方程和曲线方程联立后对应的方程有两个不等根，利用其判别式大于0即可．