Question

在平面直角坐标系xOy中，点A在圆x²+y²﹣2ax=0（a≠0）上，M点满足，M点的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若直线y=x﹣1与曲线C交于P、Q两点，且，求a的值．

Answer 1

解：：（I）设M（x，y），A（x₀，y₀）
∵M点满足 ，
∴（x₀，y₀）=（x﹣x₀，y﹣y₀）
∴ 
∵点A在圆x²+y²﹣2ax=0（a≠0）上
∴（ x）²+（ y）²﹣2a× x=0（a≠0）
∴曲线C的方程为x²+y²﹣4ax=0（a≠0）；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
将直线y=x﹣1代入x2+y2﹣4ax=0，
整理得2x²﹣2（2a+1）x+1=0
∴ ， 
∴ 
∵ ，
∴x₁x₂+y₁y₂=﹣1
∴ 
∴a=1．
当a=1时，△=6²﹣8＞0
∴a的值为1．