Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明PA⊥BD，只需证明BD⊥平面PAD，即需证明BD⊥AD，BD⊥PD；
（2）过D作DE⊥PB与E，连接AE，则PB⊥面ADE，PB⊥AE，∠DEA为二面角A-PB-D的平面角．RT△ADE中求解即可．
解答：（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD=2，
由余弦定理得=
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴BD⊥PD
∵AD∩PD=D
∴BD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD
∴PA⊥BD
（2）由（1）得BD⊥PD，AD⊥PD，∴AD⊥面PDB．AD⊥PB
过D作DE⊥PB与E，连接AE，则PB⊥面ADE，PB⊥AE，∠DEA为二面角A-PB-D的平面角．
在RT△PDB中，
RT△ADE中，cos∠DEA===
二面角A-PB-D的余弦值为
点评：本题考查空间直线位置关系的判定，空间角的计算，考查转化计算、空间想象、推理论证等能力．