题目内容
【题目】己知点
，
分别是椭圆
的上顶点和左焦点，若
与圆
相切于点
，且点是线段靠近点的三等分点.
求椭圆
的标准方程；
直线
与椭圆只有一个公共点
，且点在第二象限，过坐标原点
且与
垂直的直线
与圆
相交于
，
两点，求
面积的取值范围.
【答案】
;
.
【解析】
连接
，由三角形相似得，
，进而得出
，
，写出椭圆
的标准方程；
由
得，
，因为直线
与椭圆相切于点
，
，解得
，
，因为点在第二象限，所以
，
，所以
，设直线
与
垂直交于点
，则
是点到直线的距离，设直线的方程为
，则
，求出
面积的取值范围.
解：连接，由
可得
，
，，
椭圆的标准方程；
由得，，
因为直线与椭圆相切于点，
所以
，即
，
解得，，
即点的坐标为
，
因为点在第二象限，所以，，
所以，
所以点的坐标为
，
设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，
设直线的方程为，
则
，
当且仅当
，即
时，有最大值
，
所以
，即面积的取值范围为.
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