Question

已知f（x）=3^x，f（a+2）=27，函数g（x）=λ•2^ax-4^x的定义域为[0，2]
（1）求a的值
（2）若函数g（x）的最大值是

1

3

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数表达式，结合题意得3^a+2=27，利用指数的运算性质可得实数a的值；
（2）令2^x=t，可得g（x）=h（t）=-（t-

1

2

λ）²+

1

4

λ2，其中t∈[1，4]．再根据二次函数的单调性进行分类讨论，分别建立关于λ的方程，解之并加以检验，最后综合可得函数g（x）的最大值是

1

3

时，实数λ的值

4

3

．

解答：解：（1）依题f（a+2）=3^a+2=27，
解之得a+2=3，得a=1   _{--------------------------------------------}（2分）
（2）令2^x=t，由0≤x≤2，可得t∈[1，4]_{-------------------------}（4分）
g（x）=h（t）=-t²+λt=-（t-

1

2

λ）²+

1

4

λ2．t∈[1，4]
①当

1

2

λ＜1即λ＜2时，[h（t）]_max=h（1）=λ-1=

1

3

，
解得λ=

4

3

，符合条件_{-------------------------}（8分）
②当1≤

1

2

λ＜4，即2≤λ＜8时，[h（t）]_max=h（

1

2

λ）=

1

4

λ2=

1

3

解之得λ=±

2 3

3

∉[2，8），不符合题意，舍去_----（9分）
③当

1

2

λ≥4，即λ≥8时，[h（t）]_max=h（4）=4λ-16=

1

3

解之得λ=

49

12

＜8，不符合题意，舍去_{------------------}（11分）
综上所述，函数g（x）的最大值是

1

3

时，实数λ的值

4

3

．_{---------------------------}（12分）

点评：本题给出指数函数，求特殊函数值对应的自变量并依此求“类二次函数”的最值问题．着重考查了指数函数的性质、二次函数在闭区间上的最值讨论等知识，属于中档题．