题目内容

设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=
1
3
（an-1+2an-2）（n=3，4，…）．数列{bn}满足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn=nanbn（n=1，2，…），求数列{cn}的前n项和Sn．
（1）由an=
1
3
(an-1-an-2)得an-an-1=-
2
3
(an-1-an-2)（n≥3）
又a2-a1=1≠0，
∴数列{an+1-an}是首项为1公比为-
2
3
的等比数列，an+1-an=(-
2
3
)n-1
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）++（an-an-1）
=1+1+(-
2
3
)+(-
2
3
)2++(-
2
3
)n-2
=1+
1-(-
2
3
)n-1
1+
2
3
=
8
5
-
3
5
(-
2
3
)n-1，
当n为奇数时当n为偶数时
由
-1≤b1+b2≤1
-1≤b2≤1
b2∈Z，b2≠0

得b2=-1，
由
-1≤b2+b3≤1
-1≤b3≤1
b3∈Z，b3≠0

得b3=1，
同理可得当n为偶数时，bn=-1；当n为奇数时，bn=1；
因此bn=
1，n为奇数
-1，n为偶数
．
（2）cn=nanbn=
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1
-
8
5
n-
3
5
n(
2
3
)n-1

Sn=c1+c2+c3+c4++cn
当n为奇数时，Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
++
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]=
4(n+1)
5
-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]
当n为偶数时
Sn=(
8
5
-2×
8
5
+3×
8
5
-4×
8
5
+-
8
5
n)-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]=-
4n
5
-
3
5
[1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1]
令Tn=1×(
2
3
)0+2×(
2
3
)1+3×(
2
3
)2+4×(
2
3
)3++n(
2
3
)n-1①
①×
2
3
得：
2
3
Tn=1×(
2
3
)1+2×(
2
3
)2+3×(
2
3
)3+4×(
2
3
)4++n(
2
3
)n②
①-②得：
1
3
Tn=1+(
2
3
)1+(
2
3
)2+(
2
3
)3+(
2
3
)4++(
2
3
)n-1-n(
2
3
)n=
1-(
2
3
)n
1-
2
3
-n(
2
3
)n=3-(3+n)(
2
3
)n
∴Tn=9-(9+3n)(
2
3
)n
当n为奇数时当n为偶数时
因此Sn=
4n-23
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)n
-
4n+27
5
+
9(n+3)
5
(
2
3
)n
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，则数列{an}的通项公式为（　　）
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时
，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，则A2013=（　　）

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