Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
(Ⅰ)证明：平面PAC⊥平面PBD；
(Ⅱ)若AB=，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

(Ⅰ)证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高，
所以AC⊥PH，
又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD=H，
所以AC⊥平面PBD，
故平面PAC⊥平面PBD．
(Ⅱ)解：因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=，
所以HA=HB=，
因为∠APB=∠ADB=60°，
所以PA=PB=，HD=HC=1，
可得PH=，
等腰梯形ABCD的面积为，
所以四棱锥的体积为。