Question

【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过定点的直线交椭圆于不同的两点，连接并延长交椭圆于点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）依题意，由点到直线的距离可求得，再根据离心率为，可求得，进而得到椭圆方程；

（2）设出直线方程与椭圆方程联立，然后运用韦达定理，再化简得，即可得出结论．

（1）依题意，可设圆的方程为，

∵圆与直线相切，

∴，

∴，

由解得，

∴椭圆的方程为；

（2）证明：依题意，可知直线的斜率存在，设直线的方程为，

代入中，整理得，，

∵直线与椭圆有两个不同的交点，

∴，即，

设，则，，

∵，

∴

.

即为定值.