题目内容
【题目】已知椭圆
： 
的离心率
，且过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）如图，过椭圆
的右焦点
作两条相互垂直的直线
交椭圆分别于
，且满足
， 
，求
面积的最大值．
【答案】（1）
；（2）
时， 
的面积取得最大值
.
【解析】试题分析：
(1)利用题意列出
的方程组，求得
的值即可求得椭圆的方程；
(2)设出直线
的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理求得
的值，则
，最后利用均值不等式求解三角形面积的最大值即可.
试题解析：
（1）根据条件有
，解得
，所以椭圆
．
（2）根据
， 
可知， 
分别为
的中点，且直线
斜率均存在且不为0，现设点
，直线
的方程为
，不妨设
，联立椭圆
有
，根据韦达定理得： 
， 
，
， 
，同理可得
，
所以
面积
，现令
，
那么
，所以当
， 
时， 
的面积取得最大值
．
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