Question

已知函数f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R）．若y=f（x）图象上的点（1，-

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）处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大值．

Answer 1

分析：求函数的导数，利用图象上的点（1，-

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3

）处的切线斜率为-4，得到f（1）=-

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3

和f'（1）=-4，建立方程组，求解a，b，然后求函数的极大值即可．

解答：解：∵f（x）=

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3

x³+ax²-bx，
∴f’（x）=x²+2ax-b，
∵y=f（x）图象上的点（1，-

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3

）处的切线斜率为-4，
∴f（1）=-

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3

和f'（1）=-4，
则f（1）=

1

3

+a-b=-

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，即a-b=-4
f'（1）=1+2a-b=-4，
解得a=-1，b=3．
∴f（x）=

1

3

x³-x²-3x，f’（x）=x²-2x-3，
由f’（x）=x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1，此时函数单调递增．
f’（x）=x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，此时函数单调递减．
∴当x=-1时，函数取得极大值，极大值为f（-1）=-

1

3

-1+3=

5

3

．

点评：本题主要考查函数的单调性和极值与导数之间的关系，利用导数的几何意义求出a，b 是解决本题的关键，考查学生的运算．