Question

已知函数f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（III）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

（Ⅰ）因为函数f（x）=

a(x-1)

x2

，
∴f′（x）=

[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)

x4

=

a(2-x)

x3

，f′（x）＞0?0＜x＜2，
f′（x）＜0?x＜0，或x＞2，
故函数在（0，2）上递增，在（-∞，0）和（2，+∞）上递减．
（Ⅱ）设切点为（x，y），
由切线斜率k=1=

a(2-x)

x3

，?x³=-ax+2a，①
由x-y-1=x-

a(x-1)

x2

-1=0?（x²-a）（x-1）=0?x=1，x=±

a

．
把x=1代入①得a=1，
把x=

a

代入①得a=1，
把x=-

a

代入①得a=-1（舍去），．
故所求实数a的值为1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e^a-1，
故g（x）在区间（e^a-1，+∞）上递增，在区间（0，e^a-1）上递减，
①当e^a-1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；
②当1＜e^a-1＜e时，即0＜a＜2时，g（x）的最大值为g（e^a-1）=a-e^a-1；
③当e^a-1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a-ae．