Question

已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-5）=0}，
（Ⅰ）若B={2}，求实数a的值；
（Ⅱ）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由x²-3x+2=0解得x=1，2．可得 A={1，2}．
（Ⅰ）由B={2}，可得

22+2(a+1)•2+(a2-5)=0 △=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24=0

，解得即可．
（Ⅱ）由A∪B=A，可得B⊆A．分类讨论：B=∅，△＜0，解得即可．若B={1}或{2}，则△=0，解得即可．若B={1，2}，可得

22+2(a+1)•2+(a2-5)=0 12+2(a+1)•1+(a2-5)=0

，此方程组无解．

解答：解：由x²-3x+2=0解得x=1，2．
∴A={1，2}．
（Ⅰ）∵B={2}，
∴

22+2(a+1)•2+(a2-5)=0 △=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24=0

解得a=-3．
（Ⅱ）∵A∪B=A，∴B⊆A．
1°B=∅，△=8a+24＜0，解得a＜-3．
2°若B={1}或{2}，则△=0，解得a=-3，此时B={2}，符合题意．
3°若B={1，2}，∴

22+2(a+1)•2+(a2-5)=0 12+2(a+1)•1+(a2-5)=0

，此方程组无解．
综上：a≤-3．
∴实数a的取值范围是（-∞，-3]．

点评：本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．