题目内容

已知f(x)=
3
sin(2x-
π
6
)+2sin2(x-
π
12
)，(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期；(2)当f(
x0
2
)=
5
3
，且
5π
6
＜x0＜
4π
3
，求cosx0的值
．
分析：（1）利用倍角公式和两角和的正弦公式及周期公式即可得出；
（2）利用（1）及已知可得sin(x0-
π
3
)，及x0-
π
3
的范围，进而利用拆分角x0=x0-
π
3
+
π
3
即可得出．
解答：解：（1）f（x）=
3
sin(2x-
π
6
)+1-cos(2x-
π
6
)
=2sin(2x-
π
3
)+1，
∴T=
2π
π
=2．
（2）∵f(
x0
2
)=
5
3
，∴2sin((x0-
π
3
)+1=
5
3
，
∴sin(x0-
π
3
)=
1
3
．又
5π
6
＜x0＜
4π
3
．
∴
π
2
＜x0-
π
3
＜π，
∴cos(x0-
π
3
)=-
2
2
3
．
∴cosx0=cos[(x0-
π
3
)+
π
3
]
=cos(x0-
π
3
)cos
π
3
-sin(x0-
π
3
)sin
π
3

=-
2
2
3
×
1
2
-
1
3
×
3
2

=-
2
2
+
3
6
．
点评：熟练掌握倍角公式和两角和的正弦余弦公式及周期公式、拆分角是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=
3
sin(x+
π
3
)-cosx．
（I）求f（x）在[0，π]上的最小值；
（II）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，b=5
3
，cosA=
3
5
，且f（B）=1，求边a的长．
已知f(x)=
3
sin
πx
4
-3cos
πx
4
，若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则当x∈[0，
4
3
]时y=g（x）的最大值是
3
3
．
已知f(x)=3sin(2x-
π
6
)，若α∈（0，π）存在，使f（x+α）=f（x-α）对一切实数x恒成立，则α=
π
2
π
2
．
（2011•上海模拟）已知f(x)=
3
sinωx+3cosωx(ω＞0)．
（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜
π
2
)是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）在(-
π
2
，
π
3
)上是增函数，求ω的最大值；并求此时g（x）在[0，π]上的取值范围．
（2008•湖北模拟）已知f(x)=3sinωxcosωx-
3
cos2ωx+2sin2(ωx-
π
12
)+
3
12
(ω＞0)．
（1）求函数f（x）值域；
（2）若对任意的a∈R，函数y=f（x）在（a，a+π]上的图象与y=1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明）并写出该函数在[0，π]上的单调区间．

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