Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）求函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和asinx+bcosx=Asin（ωx+φ）及T=

2π

ω

即可得出．
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1．
∴T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[

π

8

，

3π

4

]，∴0＜2x-

π

4

＜

5π

4

．
∴-

2

2

≤sin(2x-

π

4

)≤1，∴-2≤

2

sin(2x-

π

4

)-1≤

2

-1．
∴函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的值域为[-2，

2

-1]．

点评：熟练掌握倍角公式和asinx+bcosx=Asin（ωx+φ）及T=

2π

ω

、正弦函数的单调性等是解题的关键．