Question

设，则不等式f（m）+f（m²-2）≥0（m∈R）成立的充要条件是    ．（注：填写m的取值范围）

Answer 1

【答案】分析：根据题意，分析f（x）可得其是奇函数，且是增函数，进而将不等式f（m）+f（m²-2）≥0转化为f（m）≥f（2-m²），由单调性，可得其等价于m≥2-m²，解可得答案．
解答：解：根据题意，f（x）=x³+log₂（x+），
f（-x）=-x³+log₂（-x+）=-x³-log₂（x+），
即f（x）是奇函数，
分析单调性容易得到f（x）是增函数，
则不等式f（m）+f（m²-2）≥0?f（m）≥-f（m²-2）=f（2-m²），
由单调性又可得，该不等式等价于m≥2-m²，即m²+m-2≥0，
解可得，m≤-2或m≥1，
即（-∞，-2]∪[1，+∞）
故答案为（-∞，-2]∪[1，+∞）．
点评：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合运用，其中将不等式的恒成立与奇偶性、单调性结合，解题时，注意先分析函数的奇偶性与单调性，再转化不等式，进而求解．