Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x都有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈（0，1）时f(x)=

2x

4x+1

．
（1）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当关于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解时，求实数λ的取值范围，

Answer 1

分析：（1）用定义法证明函数的单调性，作差，变形，判号，得出结论四步，
（2）利用奇函数的性质求解，其步骤是先设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），求出f（-x），再利用奇函数的性质，得到 f（x）=-f（-x）求出x∈（-1，0），上的表达式，再由所给的恒等式求出自变量为-1，0，1时的函数值为零，用分段函数写出解析式．
（3）将λ表示为x的函数，单调性求f（x）在[-1，1]上值域，利用一次函数的单调性求出λ的取值范围．

解答：解：（1）f（x）在（0，1）上是减函数，证明如下
当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x 1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

( 4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2 x1+x2-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减
（2）解：当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1      x∈(0，1) - 2 x 4 x+1     x∈(-1，0) 0                 x∈{-1，0，1}

（3）解：f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解，转化为λ=

1

2

f（x）-

1

2

由函数的单调性求出函数在[-1，1]的值域
即得，f（x）的值域为(-

1

2

，-

2

5

)∪(

2

5

，

1

2

)∪{0}λ∈(-

3

4

，-

7

10

)∪(-

3

10

，-

1

4

)∪{-

1

2

}

点评：本题考查复杂函数的单调性证明以及利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，思路简单，运算变形较繁，是一道提高答题者耐心的好题．