Question

点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x₀，y₀）．
（1）求证：x₀是x₁与x₂的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）首先求出抛物线的导数，进而求出直线PA和PB的方程，得出 

x0= x1+x2 2 y0= x1x2 2

即可证明结论．
（2）设出直线方程并代入抛物线方程，利用韦达定理求出x0和y0，即可求出斜率，根据斜率乘积为-1得出垂直即可证明结论；
（3）设中重心的坐标为G（x，y），可以得出x=k，y=

2

3

k²+

1

3

，即可求出轨迹方程．

解答：解：（1）对x²=2y求导　　得y'=x，
所以直线PA：y=x₁（x-x₁）+y₁，即y=x1x-

x 2 1

2

同理，直线PB：y=x2x-

x 2 2

2

，解得 

x0= x1+x2 2 y0= x1x2 2

所以x₀是x₁与x₂的等差中项；                      （5分）
（2）设直线AB：y=kx+1，代入x²=2y整理得x²-2kx-2=0．
∴

x1+x2=2k x1x2=-2

，得

x0=k y0=-1

∴kOP=

y0

x0

=-

1

k

即AB⊥OP；k_AP=x₁，kOB=

y2

x2

=

1

2

x2
∴kAPkOB=

1

2

x1x2=-1，
∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，
所以原点O是△PAB的垂心； （（10分），只需证明两个垂直就得满分）
（3）设△PAB的重心G（x，y），则x=

1

3

(x1+x2+x0)=k，y=

1

3

(y1+y2+y0)=

1

6

(

x

2 1

+

x

2 2

)-

1

3

=

1

6

(x1+x2)2-

x1x2+1

3

=

2

3

k2+

1

3

因为k∈R，所以点G的轨迹方程为y=

2

3

x2+

1

3

．               （15分）

点评：本题考查了导数的几何意义，两直线垂直的判定，三角形的重心等知识，（3）问明确重心的意义是解题的关键，解题过程要认真，属于中档题．