Question

例3：已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的自然数n，均有

Sn

n

=

1

2

a_n成立，试证明数列{a_n}为等差数列．

Answer 1

分析：通过

Sn

n

=

1

2

a_n分别求出a_n+1和a_n的值，二者相减进而求出2a_n=a_n+1+a_n-1根据等差数列的等差性质证明出{a_n}为等差数列．

解答：证明：∵

Sn

n

=

1

2

a_n
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

n+1

2

•a_n-

n

2

•an①
∴a_n=S_n-S_n-1=

n

2

•an-

n-1

2

•an-1②
①-②得
a_n+1-a_n=

n+1

2

•a_n+1-

n-1

2

•an-1-na_n
即2a_n=a_n+1+a_n-1
∴数列{a_n}为等差数列

点评：本题主要考查了数列求和和等差数列的等差性质．属基础题．