Question

（广东地区2008年01月期末试题） 已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．

（1）求点M轨迹的方程；

（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．

Answer 1

（），

解析:

解（1）设点的坐标为，

∵，∴．

整理，得（），这就是动点M的轨迹方程．

（2）方法一  由题意知直线的斜率存在，

设的方程为（）           ①

将①代入，

得，

由，解得．

设，，则     ②

令，则，即，即，且

                                              

由②得，

即

．

且且．

解得且

，且．

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．

方法二   由题意知直线的斜率存在，

设的方程为            ①

将①代入，

整理，得，

由，解得．

设，，则          ② 

令，且 .

将代入②，得

∴．即．

∵且，∴且．

即且．

解得且．

，且．

故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．