Question

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知给两类产品各投资1万元，它们的收益分别为0.4万元和0.8万元．
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

Answer 1

分析：（1）设投资债券收益f（x）与投资额x的函数关系式为y=f（x）=kx，投资股票收益g（x）与投资额x的函数关系式y=g（x）=m

x

．由题意可得k×1=0.4，m

1

=0.8，解得k与m即可．
（2）假设20万元中x万元用于投资股票，（20-x）用于投资债券．则获得利润h（x）=f（20-x）+g（x）=0.4（20-x）+0.8

x

=0.8

x

-0.4x+8=-0.4(

x

-1)2+8.4．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）设投资债券收益f（x）与投资额x的函数关系式为y=f（x）=kx，投资股票收益g（x）与投资额x的函数关系式y=g（x）=m

x

．
由题意可得k×1=0.4，m

1

=0.8，解得k=0.4；m=0.8．
∴f（x）=0.4x，g（x）=0.8

x

．
（2）假设20万元中x万元用于投资股票，（20-x）用于投资债券．
则获得利润h（x）=f（20-x）+g（x）=0.4（20-x）+0.8

x

=0.8

x

-0.4x+8．
∴h(x)=-0.4(

x

-1)2+8.4，
当

x

=1，即x=1时，h（x）取得最大值8.4．
即20万元中1万元用于投资股票，19万元用于投资债券可获得最大收益．

点评：本题考查了正比例函数、二次函数的单调性、待定系数法等基础知识与基本方法，收益中档题．