Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2x|x﹣a|（其中a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在[0，2]上的最小值为﹣1，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=x2﹣2x|x﹣1|

= ，

当x≥1时，f（x）递减，可得f（x）∈（﹣∞，1]；

当x＜1时，f（x）∈[﹣ ，+∞）．

则函数f（x）的值域（﹣∞，+∞）

（2）解： ，

①当a≤0时，f（x）在（0，2）上为减函数，

故 ，

可得 ，不符．

②当a＞0时，可知f（x）在 上为减函数，在 上为增函数．

（i）当 时， ，得 ，不符；

（ii）当 时， ，得 ，不符；

（iii）当a≤2时， 或

得 或 ，符合．

综上所述 或

【解析】（1）求出a=1时，f（x）的解析式，讨论x的范围，求得二次函数的值域，进而得到所求；（2）求出f（x）的分段函数式，讨论a的范围，结合二次函数的单调性，可得最小值，进而得到a的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．