Question

求数列a，2a²，3a³，4a⁴，…，naⁿ，…（a为常数）的前n项和．

Answer 1

分析：数列{naⁿ}是由数列{n}与{aⁿ}对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，但要注意应按以三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况即可求解．

解答：解：若a=0，则S_n=0
若a=1，

n(n+1)

2

则S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

若a≠0且a≠1则S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ
∴aS_n=a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹
∴（1-a） S_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a-an+1

1-a

-nan+1
∴S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

(a≠1)
若a=0，则S_n=0适合上式
即S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

(a≠1)；S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

（a=1）
总上可得，S_n=

a-an+1 (1-a)2 - nan+1 1-a (a≠1)  n(n+1) 2 (a=1)

点评：本题主要考查了错位相减求解数列的和，错位相减适合等差数列与等比数列的积构成的数列，（课本中的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意本题中含有参数时，要分类讨论．