Question

已知数列{a_n}是首项为a等于1且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（1） 求和 T_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2；
（2） 证明 12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

Answer 1

分析：由题意a₁，2a₇，3a₄成等差数列可得4a₇=a₁+3a₄，由于问题中两个问题都只和公比的三次方有关，故从此等式中解出公比的三次方即可，
（1）是等比数列中项的序号为3的倍数n个项的和，它们组成一个新的等比数列，公比为原来数列公比的三次方，由求和公式求和即可．
（2）证明三数成等比数列，需要先求出前必项和公式，然后将公式代入由等比关系转化成的方程进行验证证明即可．

解答：解：由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，
得4a₇=a₁+3a₄，即4aq⁶=a+3aq³．
变形得（4q³+1）（q³-1）=0，所以q3=-

1

4

，或q³=1（舍去）．
（1）T_n=a₁+a₄+a₇++a_3n-2
=1+q3+q6++q3n-3=

1-q3n

1-q3

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]；
（2）由

S6

12S3

=

a1(1-q6) 1-q

12a1(1-q3) 1-q

=

1+q3

12

=

1

16

．

S12-S6

S6

=

S12

S6

-1=

a1(1-q12) 1-q

a1(1-q6) 1-q

-1
=1+q6-1=q6=

1

16

=

S6

12S3

，
所以12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

点评：本题考查数列前n项和公式及其有关的综合题，属于等比数列的性质灵活运用题．