Question

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

，点M为棱SA的中点．
（1）求证：DM⊥平面SAB；
（2）求异面直线DM与SC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）依题意，可证△SDA为等腰直角三角形，从而DM⊥SA，由BA⊥面SAD 可证得DM⊥AB，利用线面垂直的判定定理即可证得DM⊥平面SAB；
（2）以D点为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意可求得

DM

，

SC

的坐标，利用空间向量的数量积即可求得异面直线DM与SC所成角的大小．

解答：解：（1）连接BD，则BD=

2

，
∵SB=

3

，在直角三角形SBD中，SD=DA=1，
∴△SDA为等腰直角三角形，又M为棱SA的中点，
∴DM⊥SA；
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥AB，又AB⊥AD，AB∩AD=A，
∴AB⊥平面SAD，DM?平面SAD，
∴DM⊥AB，又AB∩AS=A，
∴DM⊥平面SAB；
（2）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴建立空间直角坐标系，

∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD=1，
∴D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），
∵M为棱SA的中点，
∴M（

1

2

，0，

1

2

），
∴

DM

=（

1

2

，0，

1

2

），

SC

=（0，1，-1），设异面直线

DM

与

SC

所成角的大小为θ，
cosθ=

DM • SC

| DM || SC |

=

- 1 2

1 2 • 2

=-

1

2

，
∴|cosθ|=

1

2

，
∴异面直线DM与SC所成角为

π

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查异面直线及其所成的角，考查空间向量的数量积的应用，属于中档题．