Question

（2012•南宁模拟）已知不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集为R，a为c的最大值，则曲线y=x³在点（a，b）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为（　　）

• A．

  32

  3

• B．18
• C．

  64

  3

• D．24+12

  3

Answer 1

分析：由题意求出a=2，曲线y=x³在点（a，b）处的切线斜率，把点（a，b）代入曲线y=x³可得b=8，用点斜式求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点，从而求得切线与两个坐标轴围成的三角形的面积．

解答：解：不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集为R，而|x-1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到1和3的距离之和，
其最小值为2，故有c≤2．
又a为c的最大值，则a=2．
由于曲线y=x³在点（a，b）处的切线斜率为3x²|_x=2=12，把点（a，b）代入曲线y=x³可得b=8，
故曲线在点（2，8）处的切线方程为 y-8=12（x-2），即 12x-y-16=0，
求得切线和坐标轴的交点坐标为（0，-16）、（

4

3

，0），
故切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为

1

2

×16×

4

3

=

32

3

，
故选A．

点评：本题主要考查绝对值不等式的应用，利用导数求曲线的切线方程，属于中档题．