题目内容

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，当 $数学公式$ 时，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）求和f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（3）判断函数f（x）的单调性并证明．

解：（1）f（1）=f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =0+0+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
（2）∵f（2）=f（1）+f（1）+ $\text{[math]}$ =3× $\text{[math]}$ ，
f（3）=f（2）+f（1）=5× $\text{[math]}$ ，
f（n）=（2n-1）× $\text{[math]}$ ，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）= $\text{[math]}$ （1+3+5+…（2n-1））= $\text{[math]}$ n²
（3）f（x）=（ 2x-1）× $\text{[math]}$ =x- $\text{[math]}$ ，在其定义域内是增函数，
证明：设 a＜b，f（b）-f（a）=（b- $\text{[math]}$ ）-（a- $\text{[math]}$ ）=b-a，由题设知，b-a＞0，
∴f（b）-f（a）＞0，f（b），＞f（a），∴f（x）在其定义域内是增函数．
分析：（1）在已知等式中，令m=n= $\text{[math]}$ ，可以求出f（1）的值．
（2）由f（1）的值和已知等式，依次求出f（2）、f（3）、…f（n），利用等差数列的求和公式计算出所求式子的值．
（3）写出f（x）的解析式，依据单调性的定义证明在其定义域内单调递增．
点评：本题考查抽象函数的应用、数列求和、函数的单调性的证明．

练习册系列答案

1加1轻巧夺冠课堂直播系列答案

口算题卡新疆青少年出版社系列答案

芒果教辅小学生毕业系统总复习系列答案

初中毕业班系统总复习系列答案

中考信息猜想卷仿真临考卷系列答案

走进名校小学毕业升学模拟测试卷系列答案

初中毕业中考水平测试系列答案

冲刺100分达标测试卷系列答案

英语mini课堂系列答案

考场百分百系列答案

相关题目

已知函数f（x）=log₃

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

下列说法正确的有（　　）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=

f(ξi)△x中ξ_i的选取是任意的，且I_n仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x²+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

已知函数f（x）=sin（2x-

），g（x）=sin（2x+

），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，S₂．则

为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

已知函数f（x）=x³-ax+b存在极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
（ⅰ）证明：a=b；
（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．