题目内容

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $数学公式$ ，b=1．
（Ⅰ）若 $数学公式$ ，求c；
（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）由已知，∵ $\text{[math]}$ ，
∴sin（B- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ． …（2分）
∵0＜B＜π，
∴ $\text{[math]}$ ．
故B- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得B= $\text{[math]}$ ．…（4分）
由 $\text{[math]}$ ，且A+B+C=π，得C= $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得c= $\text{[math]}$ ．…（7分）
（Ⅱ）因为b²=a²+c²-2accosB，a=2c，B= $\text{[math]}$ ，
所以b²=4c²+c²-4c²× $\text{[math]}$ ，解得b= $\text{[math]}$ c．…（10分）
由此得a²=b²+c²，故△ABC为直角三角形，A= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ．
其面积S= $\text{[math]}$ bc= $\text{[math]}$ ． …（13分）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，利用辅助角公式化简，结合B的范围，可得B，利用A，求得C，结合正弦定理可求c的值；
（Ⅱ）确定△ABC为直角三角形，再求其面积．
点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，确定三角形的边与角是关键．