Question

【题目】已知函数，.

（1）记，试判断在区间内零点个数并说明理由；

（2）记（1）中的在内的零点为，，若在有两个不等实根，判断与的大小，并给出对应的证明.

Answer 1

【答案】（1）一个零点，理由见解析；（2），证明见解析

【解析】

（1）利用导数得到在区间上是增函数，，，并且在上连续的，由零点定理即得解；（2）先求出当时，是单调递增函数；当时，是单调递减函数,转化成证明，即转化成证明.

（1）由题意：，

那么，定义域为，，

由题设，故，即在区间上是增函数.

那么，，并且在上连续的，

故根据零点存在定理，有在区间有且仅有唯一实根，即一个零点.

（2），

当时，恒大于，

所以当时，是单调递增函数；

当时，恒小于，是单调递减函数.在有两个不等实根，

则，，显然：当时，.

要证明，即可证明，

而在时是单调递减函数.故证.

又由，即可证：.即，（构造思想），

即，

令，由（1）可知：，

那么：，

记，则，

当时，；当时，；故；

而；故，而，从而有：；

因此：，即单增，从而时，，

即成立.故得：.