Question

已知公差为d（d＞1）的等差数列{a_n}和公比为q（q＞1）的等比数列{b_n}，满足集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}
（1）求通项a_n，b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；
（3）若恰有4个正整数n使不等式

2an+p

an

≤

bn+1+p+8

bn

成立，求正整数p的值．

Answer 1

（1）∵1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1，3，5；
成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4
而{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，
∴a₃=1，a₄=3，a₅=5，b₃=1，b₄=2，b₅=4
∴a1=-3，d=2，b1=

1

4

，q=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-5，b_n=b₁×q^n-1=2^n-3

（2）∵a_nb_n=（2n-5）×2^n-3
∴S_n=（-3）×2^-2+（-1）×2^-1+1×2⁰++（2n-5）×2^n-3
2Sn=

&(-3)×2-1+(-1)×20++(2n-7)×2n-3+(2n-5)×2n-2

两式相减得-S_n=（-3）×2^-2+2×2^-1+2×2⁰++2×2^n-3-（2n-5）×2^n-2
=-

3

4

-1+2n-1-(2n-5)×2n-2
∴Sn=

7

4

+(2n-7)×2n-2

（3）不等式

2an+p

an

≤

bn+1+p+8

bn

等价于

2[2(n+p)-5]

2n-5

≤

2n-2+p+8

2n-3

即

4p

2n-5

≤

p+8

2n-3

，
∵p＞0，∴n=1，2显然成立
当n≥3时，有

4p

p+8

≤

2n-5

2n-3

，
即p≤

8(2n-5)

2n-1-2n+5

=

8

2n-1 2n-5 -1

设cn=

2n-1

2n-5

，由

cn+1

cn

=

2(2n-5)

2n-3

＞1，得n＞3.5
∴当n≥4时，{c_n}单调递增，
即{

8(2n-5)

2n-1-2n+5

}单调递减
而当n=3时，p≤2

2

3

；
当n=4时，p≤4

4

5

；
当n=5时，p≤3

7

11

；
当n=6时，p≤2

6

25

；
∴恰有4个正整数n使不等式

2an+p

an

≤

bn+1+p+8

bn

成立的正整数p值为3