Question

已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：

	甲	乙	丙
维生素A（单位/kg）	60	70	40
维生素B（单位/kg）	80	40	50
成本（元/kg）	11	9	4

现分别用甲、乙、丙三种食物配成10kg混合食物，并使混合食物内至少含有560单位维生素A和630单位维生素B．
（1）若混合食物中恰含580单位维生素A和660单位维生素B，求混合食物的成本为多少元？
（2）分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多少元？

Answer 1

分析：（I）设出三种食物的质量，列出方程组，解方程组求出三种食物的质量，求出混合食物的成本．
（II）据已知条件列出不等式组及目标函数；将z用x，y代替，化简不等式组和目标函数；画出可行域及目标函数对应的直线，结合图，判断出直线过定点时，目标函数最小，通过求直线的交点，求出定点坐标，将点坐标代入求出z的最小值．

解答：解：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本为p元，则（Ⅰ）依题意得

x+y+z=10 60x+40y+40z=580 80x+40y+50z=660

，
即

z=10-x-y 2x+3y=18 3x-y=16

．（2分）
由此解得x=6，y=z=2．（4分）
故混合食物的成本为6×11+2×9+2×4=92（元）．（5分）
（II）

x+y+z=10 60x+70+40z≥560 80x+40y+50z≥630 x＞0，y＞0，z＞0

，即

2x+3y-16≥0 3x-y-13≥0 x＞0，y＞0

．（7分）
且p=11x+9y+4z=7x+5y+40．（8分）
作可行域，如图．（10分）
由

2x+3y-16=0 3x-y-13=0

，得点A（5，2）．
平移直线7x+5y=0，由图知，当直线经过点A时，
它在y轴上的截距为最大，所以点A为最优解，
此时p=7×5+5×2+40=85（元）．（12分）
故用甲种食物5kg，乙种食物2kg，丙种食物3kg时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元．（13分）

点评：本题考查将实际问题转化为数学问题的能力、考查话不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．