Question

如图，四边形ABCD中（图1），BD=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

．BD中点为F，将图1沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（图2）．

（1）过A作直线AE⊥平面BDC，且AE∩平面BDC=E，求DE的长度．
（2）求直线AC与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质可得AF⊥BD，再利用线面垂直的性质及其三垂线定理即可得到∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，进而得到DE的长度．
（2）由DC=1，BD=2，BC=

5

，可得BD²+DC²=BC²．利用勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°．
于是EF∥CD，又F为BD的中点，可得E为BC的中点．在平面BCD内，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，连接AG．
可得四边形CDFG为矩形，利用线面垂直的性质及DF⊥平面AFE，可得CG⊥平面AFE．
因此∠CAG为斜线AC与平面AFE所成的线面角．求出即可．

解答：解：（1）如图所示，连接FE、AF，∵AD=AB=

2

，DF=FB=1，∴AF⊥BD，AF=1，
∵AE⊥平面BCD，∴BD⊥FE，
∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，∴∠AFE=60°．
在Rt△AFE中，FE=AF•cos60°=

1

2

．
在Rt△DFE中，DE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．
（2）由DC=1，BD=2，BC=

5

，∴BD²+DC²=BC²．
∴∠BDC=90°．
∵EF⊥BD，∴EF∥CD，又F为BD的中点，∴E为BC的中点．
在平面BCD内，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，连接AG．
则四边形CDFG为矩形，∵DF⊥平面AFE，∴CG⊥平面AFE．
∴∠CAG为斜线AC与平面AFE所成的线面角．
在Rt△AFE中，AE=AF•sin60°=

3

2

，
又∵EG=FG-FE=1-

1

2

=

1

2

，∴AG=

AE2+EG2

=1．
在矩形CDFG中，CG=DF=1，
∴∠CAG=45°．
∴sin∠CAG=

2

2

．

点评：熟练掌握二面角、线面角的定义及其作法、三垂线定理、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、线面垂直的判定与性质等是解题的关键．