Question

已知点F是双曲线的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是锐角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是

1. A.
   （1，2）
2. B.
   （1，+∞）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：利用双曲线的对称性及锐角三角形∠ACF＜45°得到AF＜CF，求出A的坐标；求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．
解答：∵△ABC是锐角三角形
∴∠ACB为锐角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠ACF=∠BCF＜45°
∴AF＜CF
∵F为右焦点，设其坐标为（c，0）
所以A（ ）
所以AF=，CF=a+c
∴即c²-ac-2a²＜0
解得
双曲线的离心率的范围是（1，2）
故选A．
点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c²=a²+b²、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．