Question

已知函数f(x)=

2x

x+2

，数列{an}满足：a1=

4

3

，an+1=f(an).
（1）求证数列{

1

an

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求证：Sn＜

8

3

.

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=f（a_n）．整理得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

.进而可推断{

1

an

]成等差数列．最后根等差数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式．
（2）首先对数列a_na_n+1的通项公式进行裂项，进而叠加求得S_n=8(

1

3

-

1

2n+3

)．根据

1

3

-

1

2n+3

＜ 

1

3

进而可推断S_n＜

8

3

解答：解：（1）∵an+1=f(an)=

2an

an+2

，
∴

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

.
∴{

1

an

]成等差数列．
∴

1

an

=

1

a1

+(n+1)×

1

2

=

3

4

+(n-1)×

1

2

=

2n+1

4

.即an=

4

2n+1

.
（2）∵anan+1=

4

2n+1

•

4

2n+3

=8(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n-1=8(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

++

1

2n+1

-

1

2n+3

)=8(

1

3

-

1

2n+3

)＜

8

3

.

点评：本题主要考查了数列的递推式，对于分母是数列相邻两项构成的数列，常可用裂项法求和．