Question

在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数，即p（x）=kx+b（k≠0）．如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨．由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱．
（Ⅰ）求p（x），并说明放置多少个网箱时，总产量Q达到最高，最高为多少？
（Ⅱ）若鱼的市场价为

1

4

万元/吨，养殖的总成本为5lnx+1万元，则应放置多少个网箱才能使总收益y最高？（注：不必求出y的最大值）

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出一次函数，利用如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，求出函数解析式，即可求得总产量函数，再利用配方法，即可求得最大值；
（Ⅱ）确定总收益函数，求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值，即是最值；

解答：解：（Ⅰ）设p=kx+b，由已知得

16=4k+b 10=7k+b

，∴

k=-2 b=24

∴p=-2x+24
∴Q=px=（-2x+24）x=-2（x-6）²+72（x∈N₊，x≤10）
∴当x=6时，f（x）最大
即放置6个网箱时，可使综产量达到最大，最高为72吨；
（Ⅱ）总收益y=(-2x2+24x)×

1

4

-(5lnx+1)=-

1

2

x2+6x-5lnx-1（x∈N^*，且x≤10）
y′=-x+6-

5

x

=

-x2+6x-5

x

=

-(x-1)(x-5)

5

令y'=0，解得x=1或x=5
当变化x时，可得y及y'的变化情况如下表：

x	（1，5）	5	（5，10）
y'	+	0	-
y	↗	极大值	↘

由表知，当x=5时，y取得极大值，也就是最大值．
∴放置5个网箱时，可使总收益y最高．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数模型的构建，解题的关键是建立函数模型，利用导数求最值．