Question

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝S(＋bv) 　　∴所求函数及其定义域为y＝S(＋bv)，v∈(0，c]． 　　(2)依题意知，S、a、b、v均为正数 　　∴S(＋bv)≥2S　① 　　当且仅当＝bv，即v＝时，①式中等号成立． 　　若≤c则当v＝时，有ymin＝2S； 　　若＞c，则当v∈(0，c时，有S(＋bv)－S(＋bc) 　　＝S[(－)＋(bv－bc)]＝(c－v)(a－bcv) 　　∵c－v≥0，且c＞bc2，∴a－bcv≥a－bc2＞0 　　∴S(＋bv)≥S(＋bc)，当且仅当v＝c时等号成立， 　　也即当v＝c时，有ymin＝S(＋bc)； 　　综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为v＝，当＞c时，行驶速度应为v＝c． 　　解法二：(1)同解法一． 　　(2)∵函数y＝S(＋bv)，v∈(0，＋∞)， 　　当x∈(0，)时，y单调减小， 　　当x∈(，＋∞)时，y单调增加， 　　当x＝时，y取得最小值，而全程运输成本函数为y＝Sb(v＋)，v∈(0，c． 　　∴当≤c时，则当v＝时，y最小，若＞c时，则当v＝c时，y最小． 　　结论同上．