Question

已知数列{a_n}满足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列{a_n}的前项和．

(1) 若，求的值；

(2) 求数列{a_n}的通项公式；

(3) 当时，数列{a_n}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1) 令，得到，令，得到。…………2分

由，计算得．……………………………………………………4分

(2) 由题意，可得：

          ，所以有

，又，……………………5分

得到：，故数列从第二项起是等比数列。……………7分

又因为，所以n≥2时，……………………………8分

所以数列{a_n}的通项…………………………………10分

(3) 因为   所以……………………………………11分

假设数列{a_n}中存在三项a_m、a_k、a_p成等差数列，

①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{a_n}单调递增，所以2a_k=a_m+a_p

即：2´()´4^k–2 = ´4^m–2 + ´4^p–2，化简得：2´4^{k - p} = 4^m–p+1

即2^2k–2p+1=2^2m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，

故有：m=p=k，和题设矛盾………………………………………………………………14分

②假设存在成等差数列的三项中包含a₁时，

不妨设m=1，k>p≥2且a_k>a_p，所以2a_p = a₁+a_k ，

2´()´4^p–2 = – + ()´4^k–2，所以2´4^p–2= –2+4^k–2，即2^2p–4 = 2^2k–5 – 1

因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立………………………………………16分

因此，数列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差数列……………………………18分