Question

已知函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）若方程f（x）=m恰有两个不等的实根，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=[x²+（b+2）x+b+c]•e^x，
∵f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
∴
∴即
（2）由（1）知
f（x）=（x²-3x+1）•e^x，
f′（x）=（x²-x-2）•e^x
=（x-2）（x+1）•e^x．

由上可知f（x）_极大值=f（-1）=，
f（x）_极小值=f（2）=-e²，
但当x→+∞时，f（x）→+∞；
又当x＜0时，f（x）＞0．
则当且仅当m∈（-e²，0]∪{}时，方程f（x）=m恰有两个不等的实根．
分析：（1）由题意可得，代入可求b，c
（2）由（1）知f（x）=（x²-3x+1）•e^x，通过导数可求函数的极值，方程f（x）=m恰有两个不等的实根．?y=f（x）与y=m有2个交点，结合函数性质可求
点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，两直线平行的斜率关系的应用及利用导数求解函数的极值，还要注意函数思想在求m的范围中的应用．