Question

已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，它们的公共项由小到大排成的数列记为{c_n}，则数列{c_n}的通项公式是
c_n=

2²ⁿ⁺¹

．

Answer 1

分析：a₁、a₂不是数列{b_n}中的项．a₃=8是数列{b_n}中的第2项，设a_k=2^k是数列{b_n}中的第m项，则2^k=3m+2，（k、m∈N^*）．再证明a_k+1不是数列{b_n}中的项．a_k+2是数列{b_n}中的项．所以c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，由此求出数列{c_n}的通项公式．

解答：解：∵a_n=2ⁿ，
∴数列{a_n}是以2首项，公比为2的等比数列，
∴a₁=2．a₂=4．a₃=8
知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．
∵a₃=8=3×2+2，
∴a₃是数列{b_n}中的第2项，
设a_k=2^k是数列{b_n}中的第m项，则2^k=3m+2（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=2^k+1=2×2^k=2（3m+2）=3（2m+1）+1，
∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．
∵a_k+2=2^k+2=4×2^k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，
∴a_k+2是数列{b_n}中的项．
∴c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，
∴数列{c_n}的通项公式是c_n=2²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
故答案为：2²ⁿ⁺¹．

点评：本题考查等比数列的通项公式、等差数列的通项公式、数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．