题目内容
已知函数f(x)=x+
：
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．
| 1 | x |
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．
分析：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再确定f（-x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）任取区间（1，+∞）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，判断f（x1）-f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案．
（2）任取区间（1，+∞）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，判断f（x1）-f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案．
解答：解：（1）函数f(x)=x+
为奇函数，理由如下：
由已知函数的解析式f(x)=x+
可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f(-x)=-x+
=-(x+
)=-f（x）
∴函数f(x)=x+
为奇函数
（2）f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，理由如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＞1，x1•x2-1＞0，
又∵f（x1）-f（x2）=x1+
-（x2+
）=x1-x2+
-
=x1-x2-
=(x1-x2)•(1-
)=(x1-x2)•
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．
| 1 |
| x |
由已知函数的解析式f(x)=x+
| 1 |
| x |
又∵f(-x)=-x+
| 1 |
| -x |
| 1 |
| x |
∴函数f(x)=x+
| 1 |
| x |
（2）f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，理由如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＞1，x1•x2-1＞0，
又∵f（x1）-f（x2）=x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x1-x2 |
| x1•x2 |
| 1 |
| x1•x2 |
| x1•x2-1 |
| x1•x2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．
点评：本题以对勾函数奇偶性和单调性的判断和证明为载体，考查了函数奇偶性和单调性的定义及证明方法，熟练掌握函数奇偶性和单调性的证明步骤是解答本题的关键．
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