Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-

1

2

与函数g（x）=alnx在点（1，0）处有公共的切线，设F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．
（1）求a的值
（2）求F（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）因为函数f(x)=

1

2

x2-

1

2

与函数g（x）=alnx在点（1，0）处有公共的切线，且f（1）=g（1）=0，说明点（1，0）在两条曲线上，把两函数求导后根据在（1，0）处的导数值相等可得a的值；
（2）把f（x）与g（x）代入函数F（x）的解析式，然后求其导函数，分m＜0和m＞0判断导函数的单调性，根据函数的单调性求得F（x）在区间[1，e]上的最小值．其中当m＞0时需要由导函数的零点对区间[1，e]进行分段．

解答：解：（1）因为f（1）=

1

2

×12-

1

2

=0，g（1）=aln1=0，所以（1，0）在函数f（x），g（x）的图象上
又f′(x)=x，g′(x)=

a

x

，所以f'（1）=1，g'（1）=a
所以a=1
（2）因为F（x）=f（x）-mg（x），所以，F(x)=

1

2

x2-

1

2

-mlnx，其定义域为{x|x＞0}F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

当m＜0时，F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

＞0，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增
所以F（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为F（1）=

1

2

×12-

1

2

-m•ln1=0．
当m＞0时，令F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

=0，得到x1=

m

＞0，x2=-

m

＜0（舍）
当

m

≤1时，即0＜m≤1时，F'（x）＞0对（1，e）恒成立，
所以F（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为F（1）=0
当

m

≥e时，即m≥e²时，F'（x）＜0对（1，e）成立，
所以F（x）在[1，e]上单调递减，
其最小值为F(e)=

1

2

e2-

1

2

-m
当1＜

m

＜e，即1＜m＜e²时，F'（x）＜0对(1，

m

)成立，F'（x）＞0对(

m

，e)成立
所以F（x）在(1，

m

)单调递减，在(

m

，e)上单调递增
其最小值为F(

m

)=

1

2

m-

1

2

-mln

m

=

1

2

m-

1

2

-

m

2

lnm．
综上，当m≤1时，F（x）在[1，e]上的最小值为F（1）=0．
当1＜m＜e²时，F（x）在[1，e]上的最小值为F(

m

)=

1

2

m-

1

2

-

m

2

lnm．
当m≥e²时，F（x）在[1，e]上的最小值为F(e)=

1

2

e2-

1

2

-m．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，求函数在闭区间上的最值，需要求函数在对应开区间上的极值与区间端点的函数值，然后进行大小比较．此题属中档题．